¿Son los números una creación humana?

Durante un tiempo se pensó que además de los humanos solo los primates tenían cierta capacidad de contar, aunque había espectáculos donde algunos animales mostraban unas capacidades sorprendentes para operar con números. Es conocida el caso de un caballo que no solo sabía contar, sino que además realizaba operaciones aritméticas comunes. El caballo se hizo una celebridad hasta que alguien se percató que realmente lo que hacía el caballo era identificar las señales de su dueño que era el que hacia las cuentas. Sin embargo, la capacidad de contar se ha comprobado experimentalmente en animales, y no me refiero a la simple memorización o imitación. Se cuenta la siguiente anécdota: “Un cuervo anidó en una torre y el propietario de la misma intentó matarlo. El hombre entró en la torre dispuesto a pillarlo por sorpresa cuando el pájaro volviera, pero el cuervo lo vio entrar y esperó hasta que el hombre salió. Así ocurrió varias veces, hasta que el hombre decidió un día ir acompañado de otro. Pasado un rato, uno de los dos salió, pero el cuervo siguió sin acercarse al lugar hasta que el otro también hubo salido. La prueba se repitió con tres, cuatro y hasta cinco personas. Finalmente, en el último caso, el cuervo entró en la torre cuando uno de los cinco que habían entrado seguía dentro. Así pues, logró distinguir uno de dos, dos de tres, tres de cuatro, pero no distinguió entre cuatro y cinco. A partir de ahí se dedujo que los cuervos contaban hasta cuatro”. En internet se puedan encontrar varias variantes de esta anécdota, seguro que tiene mucho de leyenda urbana, sin embargo, la capacidad de algunas aves, y otros animales, para contar está comprobada mediante experimentos rigurosos que llegan a conclusiones similares a la de la anécdota del cuervo: algunas aves pueden contabilizar hasta 3 o 4 objetos, especialmente si son huevos.  Uno de los experimentos clásicos consiste ir retirando de un nido huevos. Si un pájaro está incubando y en su nido hay cinco huevos y se retira uno, y el pájaro no distingue esos dos números, seguirá incubando los restantes huevos. Si se retiran dos, y el pájaro puede distinguir entre cinco y tres, entonces se dará cuenta y no volverá al nido.  [véase, por ejemplo: Science: http://science.sciencemag.org/content/334/6063/1664]

No pienses que la capacidad de los humanos para contar es mucho mayor que la de los cuervos, en algún caso puede que menos. Si nos referimos a contar la capacidad de contabilizar objetos de un simple vistazo nuestra capacidad no excede de 7 u 8. Esta limitación es utilizada en espectáculos. Si en un escenario hay inicialmente 8 personas moviéndose y se añade una nueva probablemente nadie lo perciba, sin embargo, si a un grupo de 7 se le incorpora una mas muchos de los asistentes si lo observarán.

Podemos plantearnos si los números es una invención humana o si está implícito en la propia naturaleza, como la Ley de la Gravedad.  Supongamos que no somos los únicos seres inteligentes que habitamos en nuestra Galaxia ¿podríamos utilizar los números para comunicarnos con ellos? Hay quien se ha tomado muy en serio esta posibilidad. En 1974 dos famosos científicos Frank Drake y Carl Sagan idearon una señal que se emitió desde el enorme radiotelescopio de Arecibo. El mensaje hacía uso de los números primos, los científicos pensaban que si otra civilización detectase el mensaje la presencia de números primos les permitiría saber que procedía de otra civilización inteligente. Hay otros científicos, como Hawking, que sostienen que lo mejor es que permanezcamos callados evitando que otras civilizaciones superiores a la nuestra sepan de nuestra existencia. Se basa en la idea de que en la Tierra cuando una cultura superior coloniza a otra frecuentemente acaba por destruirla.

Los números primos y tu Whatsapp

Los números primos siempre han fascinado a los matemáticos [Recuerda que un número primo es aquel numero natural mayor que 1 que solo es divisible por sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11,…..].  Los números primos se consideran los átomos de los números pues, al igual que cualquier compuesto de la naturaleza lo podemos obtener combinando átomos, cualquier número natural se puede obtener multiplicandos números primos. Por ejemplo, podemos escribir hasta 10 utilizando solo números primos, excepto el 1 (el 1 no es primo, por un acuerdo entre los matemáticos, así que no puedes utilizarlo): 2, 3, 2×2, 3, 5, 2×3, 6, 2x2x2, 3×3, 2×5, sigue tu hasta 30.

Los números primos tienen propiedades sorprendentes:  con solo dos números primos aparentemente podemos obtener cualquier número par; por ejemplo 4 se obtiene sumando 2 y 2, 6 sumando 3 y 3, 8 sumando 5 y 3 y así se ha comprobado para miles de millones de números, pero no hay aún una demostración matemática que asegure que esto ocurrirá con cualquier número por grande que sea. Este posible teorema no demostrado conocido como conjetura de Goldbach (un teorema no es tal hasta que no se demuestra, mientras tanto es una conjetura). Hay una deliciosa novela sobre el tema que te recomiendo leer: El tio Petros y la conjetura de Goldbach. Pero quizás el hecho que en la actualizada los haga más útiles es el siguiente: Dado un número N obtenido multiplicando dos números primos p1 y p2 encontrar cuales son esos dos números primos es terriblemente difícil para números grandes. Descomponer un número en el producto de varios es lo que en matemáticas se conoce como factorización de un número. Por ejemplo: Factoriza 4183 sabiendo que sus factores son dos números primos. La forma infalible es ir dividiendo 4183 entre 2, 5, 7, … hasta encontrar una división cuyo resto sea 0. Prueba a hacerlo a mano, incluso con una calculadora.  El problema es tedioso incluso con un solo número de 4 cifras, si el número tiene 128 cifras el problema es inabordable en un tiempo razonable, incluso por los ordenadores más potentes. Pues bien, esto no es una simple curiosidad, esta propiedad es la que se utiliza para codificar mensajes en las trasmisiones cifradas por internet, como ocurre cuando te sientas delante de tu ordenador y realizas una compra. Si el sitio es seguro empleará una técnica de trasmisión que usará la propiedad que te acabo de contar, cuando trasmites algo por Whatsapp y a veces te sale un mensaje que dice “trasmisión segura punto a punto”, lo que ha ocurrido es que hay un programa ha codificado tu mensaje utilizando el producto de dos números primos cuyo producto es de al menos 128 cifras.

La inmensa mayoría del dinero del mundo se mueve a través de comunicaciones digitales cifradas, y detrás de ellas están los números primos. Si alguien encontrase un método rápido de factorizar números podría originar un caos en la economía mundial o al menos sustraer el dinero de algunas cuentas. Aunque encuentres un método que lo haga no te recomiendo que lo utilices con esto fines ¡es ilegal! pero podrás sentirte muy orgulloso pues las mentes más lúcidas no lo han conseguido.

La invención de los números y de la escritura.

El sistema de numeración que ahora utilizamos tiene solo 1.500 años, y los números con decimales 450 años. Sin embargo, la invención de los números es muy anterior, y probablemente lo inventaron los contables hace al menos 10.000 años en el Próximo Oriente, coincidiendo con la aparición de la agricultura. Estos primeros contables utilizaban fichas de arcilla para registrar quien era propietario de qué. Las fichas tenían distintas formas: conos, esferas, cilindros, pirámides,  …..  Se cree que las formas de la ficha representaban los productos básicos de la época: las esferas de arcilla correspondían a fanegas de granos, los cilindros a animales y los huevos a jarras de aceite. Este sistema de contabilidad perduró al menos hasta el año 3000 a.C. Con el tiempo, las fichas se empezaron a decorar: conos decorados con barras de pan, tabletas con grabados en forma de diamantes que representaban la cerveza, eran los precursores de las monedas. Estas fichas se utilizaban como títulos de propiedad o con fines impositivos (¡Sí, ha hace más de 5000 años se pagaban impuestos en las sociedades más desarrolladas de la época!). Las fichas las guardaban en recipientes de arcilla que sellaban a modo de huchas. Con el tiempo los contables mesopotámicos empezaron a dibujar símbolos en el exterior del recipiente con el contenido del mismo. Por ejemplo: si contenía 10 esferas grababan 10 esferas en la arcilla fresca del exterior de la vasija.  Con el tiempo se dieron cuenta que como sistema de contabilidad podían prescindir del contenido, y bastaba con el grabado. Ese paso fue genial pues dio lugar a una serie de símbolos numerales escritos con diferentes formas que representaban las distintas clases de bienes. Más adelante, favorecido por el desarrollo de la agricultura se crearon asentamientos permanentes y las primeras ciudades-estado, en torno al Tigris y el Éufrates; las legendarias:  Babilonia, Erido, Lasgash, Sumer, Ur.  Las inscripciones de las arcillas se trasformaron en pictogramas para los que se usaban cuñas que facilitaban la inscripción en las tablillas ¡Los números se habían inventado! El paso fue incluso más trascendente pues acabó derivando en la invención de la escritura, en concreto la escritura cuneiforme (que significa: en forma de cuña).  ¿No crees que la división del conocimiento en Ciencias y Letras es un tanto artificial? Visto históricamente las letras surgieron de los números.

Los símbolos numerales babilónicos se fueron sofisticando por los astrónomos de la época que necesitaban representar las observaciones astronómicas con alta precisión, probablemente porque era la forma de establecer los calendarios agrícolas. Una cuña delgada vertical representaba el 1, dos cuñas unidas por un trazo en forma de Z, representaba el 2, una cuña gruesa horizontal el 10. Con el tiempo se construyó el sistema de símbolos que se muestra en la ilustración I. Observa que llega hasta el 59, a partir del 60 componían los números combinando los símbolos anteriores, por eso se dice que los babilonios utilizaban el sistema sexagesimal. También es ese el origen de contabilizar el tiempo en unidades de 60, al igual que para dividir la circunferencia en grados, minutos y segundos sexagesimales (recuerda: 1º = 60′, 1′= 60”)

Ilustración 1. Símbolos babilónicos. Fuente Wikipedia: De Josell7 – File: Babylonian_numerals.jpg, GFDL, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=9862983

Por cierto, el empleo del sistema sexagesimal tiene importantes propiedades: operar es sencillo pues el 60 es un número que tiene muchos divisores ¿Cuántos? Más adelante el sistema sexagesimal fue reemplazado por el decimal, seguro que debido a que los dedos de nuestras manos suman 10 y facilitar contar con los dedos. Si hubiésemos tenido 6 dedos en cada mano probablemente emplearíamos un sistema de base duodecimal y habría sido más sencillo operar pues el 12 tiene más divisores que el 10. Representa el 10 por α y 11 por β. Convierte los números 144 y 36 a base duodecimal y multiplícalos.

Los romanos empleaban base decimal pero las operaciones se hacían terriblemente complicadas debido al sistema de numeración que empleaban. Escribe 144 y 36 en números romanos y multiplícalos ¿A que es complicado? Quizás por eso las matemáticas en la época romana no fueron muy brillantes.

Nuestro sistema de numeración tiene su origen en la India. En torno al año 400 los indios dieron un salto fundamental fue la introducción del cero con un valor posicional. Hasta este descubrimiento era complicado diferenciar 25, de 205, de 250, además la introducción de la notación posicional (recuerda: unidades, decenas, centenas, etc.) simplificó enormemente las operaciones aritméticas. El sistema indio se trasmitió a la península Arábiga. Fue le comercio el que trajo a Europa el sistema indo-arábigo que ahora usamos y en eso ocupó un lugar destacado la introducción de la cultura árabe en España por Alfonso X El Sabio (por cierto, los símbolos con los que se representan en árabe los números no son idénticos a los latinos).