El cine de Futurama y el tamaño del infinito

Entre los guionistas de Los Simpsons y Futurama hay varios físicos y matemáticos, como J. Stewart Burns (Matemático por Harvard y Berkeley), David X. Cohen (Físico por Harvard) y Ken Keeler (Matemáticas por Harvard). Esto explica muchos de los guiños matemáticos que aparecen en sus capítulos. En ocasiones estos están tan ocultos y son tan sutiles que sólo un experto podría detectarlos. Hoy me valdré de uno de sus guiños para hablaros del más pequeño de los infinitos. ¿El infinito más pequeño? ¿Se puede hablar de tamaño del infinito? Veamos que sí, en cierta forma.

Un cine al que nunca se le acaban las entradas

En el capítulo “Bender salvaje” aparece la imagen de un cine muy particular, el Loew’s $latex aleph_0$-Plex. El nombre, una clara parodia de los Multi-Plex, contiene un objeto matemático curioso, la $latex aleph_0$, (pronunciado “alef-sub-cero”, referencia a la primera letra del alfabeto Hebreo). En Matemáticas, y en particular en Teoría de Conjuntos, los números $latex aleph$ son símbolos que representan la cardinalidad (tamaño) de conjuntos infinitos.  Los números alef se usan para medir el tamaño de conjuntos, por lo tanto son diferentes del infinito $latex infty$ del Álgebra o el Cálculo. El más pequeño de ellos es nuestro $latex aleph_0$, que representa el conjunto infinito de elementos numerables, es decir, los infinitos compuestos por números que podemos contar con los dedos, como los números naturales o los enteros. Es decir, el cine de Futurama es un cine con un número infinito, pero numerable, de salas de cines.

Imaginemos por un momento que algo así puede existir. Para simplificarlo, supongamos que existe una sala de cine con infinitos asientos numerados como 1,2,3,4,… Justo en ese cine ponen la pelicula que llevamos tanto tiempo esperando. Llegamos con poco tiempo de antelación, esperando que no nos toque muy atrás, y al llegar a la taquilla descubrimos con horror que la sala está llena. De alguna forma hay infinitas personas en la sala, la persona 1 sentada en el asiento 1, la persona 2 en el asiento 2 y así sucesivamente.

En una sala finita no habría nada que hacer, nos tocaría irnos a casa. Pero en este caso la sala es infinita, y que esté llena no es impedimento para que haya asiento para uno más. Lo único que tiene que hacer el acomodador es pedir a cada persona que ocupe el asiento contiguo. Así, la persona 1 se moveria al asiento 2, la persona 2 al asiento 3, la persona $latex n$ al asiento $latex n+1$, etc. De esta forma, ninguna persona perderá su asiento y el asiento número 1 quedará libre para que nos sentemos nosotros.

Es más, si llegan infinitas personas detrás nuestro tampoco sería un problema. El acomodador podría pedir que cada persona $latex n$ se moviera al asiento $latex 2n$ (es decir, $latex 1rightarrow2,2rightarrow4,3rightarrow6,ldots$) y ya tendríamos infinitos asientos libres para los que esperan.

Paradójicamente, antes de que llegaramos nosotros y nuestros infinitos amigos había el mismo número de personas que de asientos, y después de acomodar a infinitas nuevas personas esto no cambio, seguía habiendo el mismo número de personas que de asientos. Esto es así porque hemos sido capaces de encontrar una función biyectiva entre asientos y personas, es decir, hemos asociado una persona a un solo asiento, sin repetir, y en todos los asientos hay una persona.

Este ejercicio mental recibe el nombre del Hotel de Hilbert, en honor al matemático David Hilbert (1862-1943), que fue el que lo describió por primera vez, utilizando el ejemplo de un hotel.

David Hilbert, yendo a la moda de la época.

De la misma forma, se puede demostrar que los números enteros $latex (ldots,-3,-2,-1,0,1,2,ldots)$, que incluyen los números negativos más los naturales tienen la misma cantidad de elementos que los números naturales. Lo mismo ocurre con los números racionales, de la forma $latex frac{a}{b}$, con $latex a$ y $latex b$ números enteros. Todos estos conjuntos tienen cardinalidad (tamaño) igual a $latex aleph_0$.

Para irnos a un infinito más grande (llamado $latex aleph_1$) tenemos que hablar del conjunto de los números reales, que incluyen los números que se pueden escribir como una secuencia infinita de decimales. Así, por ejemplo, hay mas números reales entre 0 y 1 que números naturales. Pero, sin embargo, el tamaño de los números reales entre 0 y 1 es el mismo que el de todos los números reales. Para rizar más el rizo, hay el mismo número de puntos en una linea que en un plano, y tantos puntos en un plano como en el espacio, sea de las dimensiones que sea. Todos tienen cardinalidad $latex aleph_1$.

Incluso hay infinitos mas grandes que el de los reales (denominados $latex aleph_2$, $latex aleph_3,ldots$). El matemático Georg Cantor provó que los conjuntos infinitos siempre tienen más subconjuntos que elementos, es decir, hay mas formas de agrupar los elementos de un conjunto infinito que elementos en el conjunto. Así, hay más subconjuntos de números reales que números reales, más subconjuntos de subconjuntos de números reales que subconjuntos de números reales, y así sucesivamente. ¡Hay incluso infinitos de tamaño infinito!

Os recomiendo ver el divertido video de 60 segundos (inglés subtitulado) de The Open University, donde explica esta paradoja con una simpática animación.