Un cine al que nunca se le acaban las entradas

En el capítulo “Bender salvaje” aparece la imagen de un cine muy particular, el Loew’s $latex aleph_0$-Plex. El nombre, una clara parodia de los Multi-Plex, contiene un objeto matemático curioso, la $latex aleph_0$, (pronunciado “alef-sub-cero”, referencia a la primera letra del alfabeto Hebreo). En Matemáticas, y en particular en Teoría de Conjuntos, los números $latex aleph$ son símbolos que representan la cardinalidad (tamaño) de conjuntos infinitos.  Los números alef se usan para medir el tamaño de conjuntos, por lo tanto son diferentes del infinito $latex infty$ del Álgebra o el Cálculo. El más pequeño de ellos es nuestro $latex aleph_0$, que representa el conjunto infinito de elementos numerables, es decir, los infinitos compuestos por números que podemos contar con los dedos, como los números naturales o los enteros. Es decir, el cine de Futurama es un cine con un número infinito, pero numerable, de salas de cines.

Imaginemos por un momento que algo así puede existir. Para simplificarlo, supongamos que existe una sala de cine con infinitos asientos numerados como 1,2,3,4,… Justo en ese cine ponen la pelicula que llevamos tanto tiempo esperando. Llegamos con poco tiempo de antelación, esperando que no nos toque muy atrás, y al llegar a la taquilla descubrimos con horror que la sala está llena. De alguna forma hay infinitas personas en la sala, la persona 1 sentada en el asiento 1, la persona 2 en el asiento 2 y así sucesivamente.

En una sala finita no habría nada que hacer, nos tocaría irnos a casa. Pero en este caso la sala es infinita, y que esté llena no es impedimento para que haya asiento para uno más. Lo único que tiene que hacer el acomodador es pedir a cada persona que ocupe el asiento contiguo. Así, la persona 1 se moveria al asiento 2, la persona 2 al asiento 3, la persona $latex n$ al asiento $latex n+1$, etc. De esta forma, ninguna persona perderá su asiento y el asiento número 1 quedará libre para que nos sentemos nosotros.

Es más, si llegan infinitas personas detrás nuestro tampoco sería un problema. El acomodador podría pedir que cada persona $latex n$ se moviera al asiento $latex 2n$ (es decir, $latex 1rightarrow2,2rightarrow4,3rightarrow6,ldots$) y ya tendríamos infinitos asientos libres para los que esperan.

Paradójicamente, antes de que llegaramos nosotros y nuestros infinitos amigos había el mismo número de personas que de asientos, y después de acomodar a infinitas nuevas personas esto no cambio, seguía habiendo el mismo número de personas que de asientos. Esto es así porque hemos sido capaces de encontrar una función biyectiva entre asientos y personas, es decir, hemos asociado una persona a un solo asiento, sin repetir, y en todos los asientos hay una persona.

Este ejercicio mental recibe el nombre del Hotel de Hilbert, en honor al matemático David Hilbert (1862-1943), que fue el que lo describió por primera vez, utilizando el ejemplo de un hotel.

David Hilbert, yendo a la moda de la época.

De la misma forma, se puede demostrar que los números enteros $latex (ldots,-3,-2,-1,0,1,2,ldots)$, que incluyen los números negativos más los naturales tienen la misma cantidad de elementos que los números naturales. Lo mismo ocurre con los números racionales, de la forma $latex frac{a}{b}$, con $latex a$ y $latex b$ números enteros. Todos estos conjuntos tienen cardinalidad (tamaño) igual a $latex aleph_0$.

Para irnos a un infinito más grande (llamado $latex aleph_1$) tenemos que hablar del conjunto de los números reales, que incluyen los números que se pueden escribir como una secuencia infinita de decimales. Así, por ejemplo, hay mas números reales entre 0 y 1 que números naturales. Pero, sin embargo, el tamaño de los números reales entre 0 y 1 es el mismo que el de todos los números reales. Para rizar más el rizo, hay el mismo número de puntos en una linea que en un plano, y tantos puntos en un plano como en el espacio, sea de las dimensiones que sea. Todos tienen cardinalidad $latex aleph_1$.

Incluso hay infinitos mas grandes que el de los reales (denominados $latex aleph_2$, $latex aleph_3,ldots$). El matemático Georg Cantor provó que los conjuntos infinitos siempre tienen más subconjuntos que elementos, es decir, hay mas formas de agrupar los elementos de un conjunto infinito que elementos en el conjunto. Así, hay más subconjuntos de números reales que números reales, más subconjuntos de subconjuntos de números reales que subconjuntos de números reales, y así sucesivamente. ¡Hay incluso infinitos de tamaño infinito!

Os recomiendo ver el divertido video de 60 segundos (inglés subtitulado) de The Open University, donde explica esta paradoja con una simpática animación.

Por ejemplo, ¿qué tienen en común el punto de una circunferencia girando sobre otra y la luz que se refleja en el interior de un anillo o una taza de café? Pues, sorprendentemente, ambas dibujan la misma curva, la llamada curva del corazón.

Generación de una epicicloide con k=3, es decir, la rueda que gira tiene un radio tres veces menor que la fija. (Wikipedia)

La curva del corazón es una epicicloide. En Geometría, una epicicloide es una curva plana producida por la trayectoria de un punto de una circunferencia, llamada epiciclo, que rueda sin deslizarse sobre otra circunferencia fija. Dependiendo de la relación entre los radios de ambas circunferencias $latex frac{r_1}{r_2}$ podemos obtener una gran variedad de figuras, bellamente simétricas. Por supuesto, cuando la relación entre radios es un número racional, es decir $latex k=frac{r_1}{r_2}=frac{n}{m}$ con $latex n,m$ números enteros, la curva que se dibuja es cerrada, denominándose curvas algebráicas. 

Cuando las dos circunferencias tienen el mismo radio obtenemos una cardioide, llamada así porque la curva recuerda al dibujo de un corazón.

Generación de una cardioide por dos ruedas del mismo radio. (Wikipedia)

     – Bueno, todo esto es muy bonito pero, ¿qué tiene que ver esto con la luz reflejada en un anillo?

Ya llego a este punto, lector impaciente, pero primero veamos unos conceptos de Óptica. Como ya sabéis, si tenéis una lupa o un espejo parabólico (como los hornos solares), cuando a la lente le da el Sol hay un punto en el que los rayos del Sol se concentran, pudiendo llegar a mucha temperatura e incluso a quemar pequeños objetos. Este punto se llama foco, del latín focus, palabra de la que también derivan fogón o fuego. Los rayos del Sol llegan paralelos y al atravesar la lente o reflejarse en el espejo parabólico se dirigen todos a un punto, donde se suman, explicando que se caliente tanto.

Esto explica el calentamiento global…

Bien, ¿qué sucede si la lente o el espejo no son perfectos o enviamos la luz desde una fuente que se encuentra fuera del eje óptico (por ejemplo, giramos la lupa, no la enfocamos al Sol)? En este caso, la luz, en vez de concentrarse en un punto se extenderá en una superficie más o menos definida. Esta curva también tendrá más temperatura y luminosidad, y por lo tanto se denomina cáustica (del griego kaustikos, “que quema”). Todos hemos visto estas curvas, por ejemplo en el fondo de la piscina o el mar. Son esas hipnóticas bandas luminosas provocadas por el movimiento del agua.

Un pez entre cáusticas

-  Primero me hablas de curvas matemáticas, luego de lupas y ahora del mar. ¿Seguro que están relacionados?

Claro, todo está relacionado, ahora llega la explicación. Si coges una circunferencia reflectante, como una taza o un anillo, y la pones bajo la luz solar cuando el Sol no esté muy alto en el cielo, o iluminas su interior con una linterna en su borde, obtendrás una cardioide* (la curva del corazón). Así de sencillo.

¿Cómo es posible que dos fenómenos físicos tan diferentes den lugar a la misma curva? Para verlo podemos usar dos enfoques. Uno es el de la óptica geométrica. Para ello dibujamos líneas, que representan los rayos de luz, desde un borde de la circunferencia y observamos dónde confluyen sus reflexiones (La figura de la izquierda del par que muestro abajo). La envolvente de estas líneas, es decir, la curva dibujada por la suma de los rayos, es nuestra cardioide.

Cardioides generadas por rayos de luz emitidos desde el borde inferior. Representación con rayos lineales (izquierda) y ondulatoriamente (derecha). Los rayos emitidos por la fuente están en azul, mientras que las reflexiones se muestran en rojo (son colores arbitrarios, la luz no cambia de frecuencia al rebotar).

Pero también podemos verlo ondulatoriamente. Los rayos de luz son ondas, por lo que se propagarán como las olas en un estanque, rebotando en las paredes de la circunferencia. Cuando dos ondas viajando en sentidos contrarios se encuentran, sus intensidades se pueden sumar o anularse, dependiendo si tienen fase igual o contraria. En nuestra circunferencia veremos más intensamente las crestas de las ondas que se encuentran con fases similares, cuya envolvente es precisamente la cardioide. Esta cáustica no es nítida porque lleguen más rayos a la misma, sino porque las ondas, que inundan la circunferencia, se encuentran en la curva con la misma fase, y suman sus contribuciones.

* Nota: En realidad, al iluminar la circunferencia con una luz infinitamente lejana (como el Sol) se obtiene una nefroide o curva del riñón. Es muy parecida a la cardioide, pero el nombre no es tan atractivo, así que permitidme la aproximación.