En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, celebrado en París, el prestigioso matemático David Hilbert dictó una mítica conferencia en la que a modo de reto propuso 10 problemas para resolver, a ellos añadiría por escrito otros 13. Esta propuesta tuvo una enorme influencia en las Matemáticas del siglo XX.
En el año 2000 el Instituto Clay, patrocinado por el filántropo Landon T. Clay, quiso emular la propuesta de Hilbert y reunió a varios matemáticos que elaboraron una lista de 7 problemas. La resolución de cada uno de ellos recibiría un premio de un millón de dólares. Hasta ahora se ha resuelto uno: El teorema de Poincaré por el matemático Perelman, quien renunció al premio. Quedan 6 por resolver, sería estupendo que uno de nuestros oyentes más jóvenes solucione alguno de ellos.
Para tratar de este apasionante tema hemos entrevistado en EUREKA al profesor Carlos Tejero Prieto, profesor de geometría y topología en nuestra Universidad. La entrevista la podeis escuchar aquí: Los problemas del milenio).
Como complemento podeis leer estas historias:
El jurista Pierre de Fermat, muy conocido por sus contribuciones a las matemáticas, en una de las páginas de su copia del texto griego de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría, editada en 1621 dejo una nota manuscrita en latín que decia: “Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase” y añadía una intrigante frase: “He descubierto para este hecho una demostración excelente. Pero este margen de este libro es demasiado exiguo para que la demostración quepa en él.”
El problema anterior, que tiene una forma muy parecida al teorema de Pitágoras. En lenguaje moderno se pude enunciar como: Si N es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos X, Y y Z, tales que se cumpla la igualdad: X elevado a N mas Y elevado a N igual a Z elevado a N.
Este sencillo enunciado trajo de cabeza a muchos de los matemáticos más eminentes durante de 350 años. Hilbert se refiero a él al inicio de su famosa conferencia, pero no lo incluyó explícitamente en su lista de problemas. Sobre este tema también hay mucha leyenda: ¿Por qué Hilbert, un matemático apasionado por la teoría de los números, en la que se inscribe el teorema de Fermat no lo propuso en su lista de problemas?
En 1742, el matemático de origen prusiano Cristian Goldbach, en una carta dirigida a Euler, se preguntaba si: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.” Esto se conoce como conjetura fuerte de Goldbach y sigue estando sin resolver. En la misma carta, también formuló la denominada conjetura débil de Goldbach que afirma que: “Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.” Esta fue finalmente demostrada por el matemático peruano Harald Helfgott en dos artículos escritos en 2012 y 2013.
Sobre este problema hay una excelente novela de título: El tío Petros y la conjetura de Goldbach escrita por el griego Apostolos Doxiadis. La novela cuenta la apasionante búsqueda de la solución al problema por un matemático desconocido, y en su epopeya conocerá a los mejores matemáticos del siglo XX. Quizás algún joven oyente se atreva con este problema de enunciado envenenadamente sencillo: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.”
Introducción
1.1 Importancia y aplicación de los números primos
Los números primos, definidos como aquellos números enteros mayores a 1 que solo tienen dos divisores distintos, el 1 y ellos mismos, han sido objeto de fascinación y estudio desde la antigüedad. Se encuentran en el corazón de varias ramas de las matemáticas y juegan un papel vital en aplicaciones prácticas como la criptografía. Por tanto, la generación y reconocimiento preciso de los números primos es un problema importante en la informática y las matemáticas.
1.2 Descripción del problema y relevancia de la conjetura
En la computación, es común representar la primalidad en un formato booleano, una lista de valores verdaderos o falsos indicando si un número dado es primo o no. Para esta tarea, se propuso un algoritmo cuyo objetivo es generar listas que cumplan la condición X.
Este algoritmo opera en tres pasos principales y toma una entrada de longitud n>1 y devuelve una salida de longitud 2n+1: (1) copia los primeros n elementos de la entrada a la salida, (2) asigna ‘false’ a la posición (n+1) y (3) para posiciones mayores a n+1, invierte y niega los valores de la entrada y los añade a la salida.
1.3 La condición X y su relación con la conjetura de Goldbach
La condición X se refiere a una particularidad de la lista booleana generada por el algoritmo. Esta condición se evalúa como verdadera si todos los valores ‘true’ de la lista de primos corresponden a un valor ‘true’ en su lista invertida y negada, lo cual indicaría que la conjetura de Goldbach es falsa. Esto se debe a que si todos los números primos pueden ser representados en la lista invertida y negada, esto contradice la conjetura de Goldbach que postula que no todos los números pueden ser representados como la suma de dos primos.
Por otro lado, si existe un valor ‘true’ en la lista de primos que corresponde a un valor ‘false’ en la lista invertida y negada, la condición X se evalúa como falsa. Esto afirma que la conjetura de Goldbach es cierta para el rango evaluado, ya que hay al menos un número primo que no puede ser representado en la lista invertida y negada. La demostración de esto se basa en el índice del número en la lista y el límite de la lista menos el índice, ambos siendo primos.
El no cumplimiento de la condición X en una lista de primos indica los números primos que hacen que la conjetura sea cierta.
El cumplimiento de la condición X en una lista con al menos los primos a true indica que la conjetura es falsa, y indica el numero para el cual es falsa, este hecho no se da nunca.
nota: evaluó invirtiendo y negando pero se podría hacer sin negar.
1.4 Imposibilidad del algoritmo de generar listas de primos que empiezan por el 0
La estructura y operación del algoritmo propuesto lo incapacitan para generar listas de números primos que comienzan por 0. Este hecho radica en dos problemas fundamentales. Primero, el paso 2 del algoritmo asigna ‘false’ de manera indiscriminada a la posición n+1, sin considerar si n+1 es primo. Segundo, el paso 3 del algoritmo depende de una secuencia y operaciones específicas para generar listas. Más adelante hay una lista detallada en detalle.
nota: empiezo por el 0 porque incluyo el límite, sin incluir el limite se puede empezar por 1.
1.5 Conjetura y su relación con la condición X, el algoritmo y la conjetura de Goldbach
Se ha postulado una conjetura que sostiene que las listas que cumplen la condición X y las listas de números primos son conjuntos disjuntos. En otras palabras, ninguna lista de números primos cumplirá la condición X. Esta conjetura, si es cierta, proporciona una relación interesante entre la condición X, el algoritmo propuesto y la Conjetura de Goldbach, demostrando que no existen listas de números primos que cumplen la condicion X. “listas de primos para las cuales la conjetura se incumple”
1.6 Resumen de la introducción
En esta introducción, hemos discutido la importancia y la aplicación de los números primos en varias ramas de las matemáticas y la informática. Hemos introducido un algoritmo que genera listas booleanas de primalidad y cumple una particularidad conocida como la condición X. Esta condición se vincula con la famosa Conjetura de Goldbach, y su evaluación puede proporcionar indicios sobre la veracidad de dicha conjetura.
Hemos discutido cómo el algoritmo, a pesar de su utilidad, es incapaz de generar listas de números primos que comiencen con 0 debido a su diseño y operación. Asimismo, se ha introducido una conjetura que sostiene que las listas que cumplen la condición X y las listas de números primos son conjuntos disjuntos, lo que implica que ninguna lista de números primos cumplirá la condición X.
En resumen, esta introducción sienta las bases para un análisis en profundidad del algoritmo propuesto, la condición X, la Conjetura de Goldbach y la relación entre estos conceptos. A continuación, se describirá en detalle el algoritmo y se analizará su funcionamiento.
Descripción y Análisis del Algoritmo Propuesto
2.1 Visión General del Algoritmo El algoritmo propuesto es una técnica para generar listas booleanas, con un interés específico en listas que cumplen la condición X. Se diseñó para trabajar en tres pasos: copia, asignación y modificación.
- Primer Paso: Copia de Elementos En el primer paso, el algoritmo copia los primeros ‘n’ elementos de la lista de entrada a la lista de salida. Esto crea una correspondencia uno a uno entre los primeros ‘n’ elementos de ambas listas.
- Segundo Paso: Asignación En el segundo paso, el algoritmo asigna el valor ‘false’ a la posición (n+1) de la lista de salida, sin considerar si el número (n+1) es primo o no.
- Tercer Paso: Modificación En el tercer paso, para las posiciones mayores a (n+1), el algoritmo invierte y niega los valores de la lista de entrada y los añade a la lista de salida. Esta operación introduce una asimetría en las listas generadas y es fundamental para evaluar la condición X como cierta.
2.2 Porque el algoritmo no puede marcar a todos los números primos en un rango dado como “true”:
1. Inversión y negación: En el tercer paso del algoritmo, la entrada se invierte y se niega. Esto significa que si un número primo en la entrada es “true”, se convierte en “false” en la salida. Aún más, no estará en la misma posición ya que la lista está invertida.
2. Asignación inicial de ‘false’: El algoritmo asigna “false” a la posición n+1 de la salida, independientemente de si n+1 es primo o no.
3. Ausencia de verificación de primalidad: El algoritmo no incluye ningún mecanismo para verificar si un número es primo o no. Sin tal mecanismo, no puede garantizar que los números primos se marquen como “true”.
4. Dependencia de la entrada: La salida del algoritmo depende completamente de la entrada. Si la entrada no tiene marcados como “true” a los números primos, la salida tampoco los tendrá.
5. Posición de los ‘true’: Debido a la inversión y la negación de la entrada en la segunda parte de la salida, los ‘true’ que aparecen en la segunda mitad no corresponden a las posiciones primas.
6. Incompatibilidad con el crecimiento de los números primos: Los números primos se distribuyen a lo largo de los números naturales sin un patrón claro que pueda ser replicado por la inversión y la negación.
Por estas razones, podemos concluir que el algoritmo no puede marcar a todos los números primos en un rango dado como “true”. En cambio, los resultados dependen altamente de la entrada. Aun con una entrada con únicamente los primos a true, el algoritmo no esta diseñado para generar entre otros todos los primos en el rango y parece que no los genera.
2.3 Evaluación de la condición X La condición X se evalúa después de que se ha generado la lista de salida. La condición X se evalúa como verdadera si cada valor ‘true’ en la lista de salida corresponde a un valor ‘true’ en su lista invertida y negada. Si esta condición se aplicara a una lista de números primos, la evaluación como verdadera implicaría que la Conjetura de Goldbach es falsa. Esto se debe a que si todos los números primos se pueden representar en la lista invertida y negada, esto contradice la conjetura de Goldbach que postula que todos los números pares pueden ser representados como la suma de dos números primos. En la lista invertida y negada de la lista de primos , tendremos false en rango – primos, si algunas de esas posicion en la lista de primos es true, indica que dos primos hacen verdadera la conjetura.
2.4 Relación entre el Algoritmo y la Conjetura de Goldbach En el caso de que la condición X se evalúe como verdadera cuando se aplica a una lista de primos, esto sugeriría que la Conjetura de Goldbach es falsa. Sin embargo, dado que el algoritmo es incapaz de generar listas de números primos que comienzan por el 0, la condición X nunca se evalúa como verdadera en el caso de las listas de primos. Por lo tanto, a través de este método, no se proporciona ninguna evidencia contra la Conjetura de Goldbach. Por otro lado, si la condición X se evalúa como falsa cuando se aplica a todas las listas de primos, esto es coherente con la Conjetura de Goldbach siendo verdadera, ya que indica que todos los números pares pueden ser representados como la suma de dos números primos.
Relación entre la Conjetura de Goldbach y el algoritmo que genera listas que cumplen la condición X
3.1 La conjetura propuesta sostiene que las listas que cumplen la condición X y las listas de números primos son conjuntos disjuntos. En otras palabras, ninguna lista de números primos cumplirá la condición X.
3.2 Relación con el algoritmo: La conjetura está directamente relacionada con el algoritmo y su incapacidad para generar listas de primos que comienzan por el 0. Esta incapacidad inherente del algoritmo para generar dichas listas es uno de los fundamentos de la conjetura. De acuerdo con la conjetura, las listas generadas por el algoritmo, que cumplen la condición X, nunca podrían ser una lista de primos.
3.3 Relación con la condición X: La condición X, cuando se aplica a una lista de primos, sirve como una forma de verificar la conjetura de Goldbach. Si la condición X se evalúa como verdadera aplicada a una lista de primos, la conjetura se evaluaría como falsa. Además, la condición X también proporciona una forma de identificar los números que cumplen la conjetura de Goldbach, ya que la condición X se evalúa como falsa cuando se encuentra un número que puede ser representado como la suma de dos números primos, siendo estos numeros el índice donde hay un true en la lista original y un false en su invertida y negada y el límite menos este índice.
3.4 Pruebas de la conjetura
A pesar de que la conjetura aún no ha sido demostrada formalmente, las observaciones basadas en el algoritmo y la condición X parecen estar a su favor. Por ejemplo, la incapacidad del algoritmo para generar listas de primos que comienzan por el 0, junto con el hecho de que las listas que cumplen la condición X y las listas de números primos son conjuntos disjuntos, proporcionan un fuerte indicio de que la conjetura podría ser cierta. Si se admite la incapacidad del algoritmo de generar entre otros a todos los primos en el rango, se admite la conjetura como cierta.
3.5 Implicaciones de la conjetura: Si la conjetura es verdadera, ofrece una relación fascinante entre la generación de listas booleanas, la representación de números primos y la Conjetura de Goldbach. Además, podría abrir nuevas vías para comprender y abordar problemas relacionados con los números primos y las representaciones de la suma de números primos.
3.6 Resumen del capítulo: En este capítulo, hemos presentado una conjetura que sugiere una relación única entre un algoritmo propuesto, la condición X y las representaciones de números primos. Aunque la conjetura aún no ha sido probada, las evidencias basadas en la operación del algoritmo y la evaluación de la condición X parecen estar a su favor. Las implicaciones de la conjetura, si se demuestra, podrían tener un impacto significativo en nuestro entendimiento de los números primos y la Conjetura de Goldbach.
Observaciones
4.1 La imposibilidad del algoritmo de generar lista de primos.
Las listas de primos que nos interesan son las que empiezan por 0, por ejemplo para el 4: 0f 1f 2t 3t 4f
Si los argumentos del punto 2 , asigna indiscriminadamente un false. Y el punto 3, no respeta las propiedades de los primos para asignar. Y la observación de que la secuencia de los primos no se puede generar negando e invirtiendo una lista. Son correctos, la conjetura es cierta.
Como me interesa únicamente que los primos entre otros tengan un true, puede estos argumentos no son sólidos matemáticamente hablando y por tanto no he demostrado nada,
Si por el contrario estos argumentos son sólidos, estoy seguro que los demás también y por ende la conjetura de Goldbach es cierta.
4.2. Demostraciones parciales.
Durante el estudio observe que mientras haya más impares primos que no primos, la conjetura es cierta porque al invertir la lista y negarla habrá menos trues que primos, y por ende la condicion X nunca podría ser cierta, la conjetura mientras se cumple esta condicion es cierta.
4.3 Porque el algoritmo es el apropiado.
El algoritmo cuando la entrada es una lista de primos con solo los primos a true de longitud >1 siempre generara listas con en la primera mitad solo los primos y en la segunda los máximos trues posibles siempre que se cumpla la condicion X.
1. Copia la entrada
2. asigna false a n+1
3. For i=0 to n ; listaGenerada(n+2+i)=! listaEntrada(n-i)
! es la negación.
al invertir la lista y copiarla en la segunda mitad tendrás una simetría precisa para que después tras invertir y negar la lista y comparar, todos los trues tengan un false, por lo que al invertir y negar la lista y copiarla en la segunda mitad, tendrás una asimetría precisa para que después de invertir y negar la lista los trues se conserven.